Josef Strommer wurde am 18. Februar 1903 in Mold bei Horn in eine Bauernfamilie hineingeboren. Nach der Volksschule absolvierte er das Gymnasium in Horn und Melk und studierte anschließend Landwirtschaft am Francisco-Josephinum, damals in Mödling. Nach seinem Abschluss kehrte er auf den Hof der Eltern zurück und übernahm diesen 1937.

Schon in jungen Jahren engagierte er sich im Genossenschaftswesen. Er war Mitbegründer des Verbandes landwirtschaftlicher Fortbildungsvereine (1928). 1932 begann er seine Laufbahn in der NÖ. Landes-Landwirtschaftskammer als Bezirksbauernkammerrat in Horn. Zwei Jahre später, ab 1934, wurde er außerdem in den NÖ. Ständischen Landtag berufen, wo er während der Zeit der autoritären Dollfuß-Schuschnigg-Regierungen bis zum „Anschluss“ Österreichs an NS-Deutschland 1938 die landwirtschaftlichen Interessen vertrat. Für kurze Zeit, vom 27. April bis zum 2. Mai 1934, war er außerdem Mitglied des Bundesrates. Zur Zeit der nationalsozialistischen Herrschaft und während des Zweiten Weltkriegs wurde er mehrfach inhaftiert.

Nach Kriegsende 1945 bis 1950 wurde Josef Strommer Obmann der Bezirksbauernkammer Horn und in seiner Herkunftsgemeinde zum Bürgermeister gewählt. Den Posten als Vizebürgermeister nahm er von 1955 bis 1964 ein. Ab dem 19. Dezember 1945 bis zum 5. Juni 1962 war er Abgeordneter zum Nationalrat, wo er sich für die landwirtschaftlichen Agenden, u.a. als Obmann des Landwirtschaftsausschusses einsetzte. Er gehörte ferner zu den führenden Mitgliedern des niederösterreichischen und des österreichischen Bauernbunds.

Mit der Neugründung der NÖ. Landes-Landwirtschaftskammer im April 1945 wurde er zu ihrem Vize-Präsidenten gewählt. Das Präsidentenamt füllte er zwölf Jahre lang von 1950 bis 1962 aus. Im gleichen Zeitraum war er Vorsitzender der Präsidentenkonferenz der Landwirtschaftskammern Österreichs. In den 17 Jahren als Vizepräsident und Präsident der  Landes-Landwirtschaftskammer gestaltete er die Entwicklung der Landwirtschaft von kriegsbedingten Schäden, Mangel und geringer Produktivität zu Ernährungssicherheit und Exportproduktion tatkräftig mit. Er setzte sich dafür ein, Tierbestände, Erträge und Ernten zu steigern, Wiederaufbau und technische Modernisierung voranzutreiben, die Ausbildung des bäuerlichen Nachwuchses zu fördern und Preise und Löhne zu regulieren. Auf seine Initiative geht die Errichtung der Häuser der Landwirtschaft zurück.

Zu seinem 50. Geburtstag 1953 wurde Josef Strommer der Titel Ökonomierat verliehen. Es folgte 1957 seine Auszeichnung mit dem Großen Goldenen Ehrenzeichen mit dem Stern für Verdienste um die Republik Österreich und 1960 mit dem Silbernen Komturkreuz des Ehrenzeichens für Verdienste um das Land Niederösterreich mit dem Stern. Ein Jahr später erhielt er mit dem Komturkreuz des Silvesterordens eine hohe päpstliche Auszeichnung und 1963 das Goldene Abzeichen des Bauernbunds.

Aufgrund seiner angegriffenen Gesundheit musste er sich 1961/62 von allen Ämtern und Mandaten zurückziehen. Er verstarb am 29. Juli 1964 in seinem Geburtsort und wurde in Maria Dreieichen beigesetzt.